阿蒂亚（Michael Atiyah）曾说过：“我们的理想是探究数学真谛，而不是使用机械执行指令的盘算机推演论证。”另一位菲尔兹奖获得者泽尔曼诺夫（Zelmanov）也表现赞同：“只有所有数学家都认可的证明方法才是真正有效的，所以我对机械证明方法的前景并不看好。

”他说的有原理吗？如果数学证明方法只有生成它的机械能够明白，我们真的可以相信吗？我们的写作工具到场了我们思想的形成历程。——弗里德里希·尼采（Friedrich Nietzsche）撰文｜Marcus du Sautoy（牛津大学数学教授）翻译｜王晓燕、陈浩、程国建只管我有点担忧盘算时机让我丢掉事情，但我不得不认可，作为一种工具，它是一个“无价之宝”。当我们需要将一系列方程合并成一个方程时，手工盘算是很难保证不堕落的。

但对于盘算机来说，它就很擅优点理这种重复而机械且盘算量庞大的任务。你只需要界说一套规则，剩下的就由盘算机接手了。而且，在速度与准确性等方面，盘算机是远凌驾手工盘算的。

正因为如此，近年来盘算机的作用越来越重要，其应用领域也越来越广泛。数学与盘算机法式的算法精密相关。

因此，近半个世纪盘算机常用于证明一些庞大的数学问题。20世纪70年月，盘算机对“四色定理”的证明惊动了全世界。四色定理指的是“任何一张舆图只用四种颜色就能使具有配合界限的国家着上差别的颜色。”也就是说，在不引起混淆的情况下，一张舆图至少需要四种颜色来标志。

只管此前许多人认为五种颜色就是下限，但盘算机的发现大大加速了对四色定理证明的历程。1976年，数学家凯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）在前人的基础上用盘算机证明晰四色定理。

阿佩尔与哈肯把舆图的无限种可能情况简化为1936种构型，可是要靠人工逐一验证如此之多的构型是不现实的，所以才需要借助盘算机举行验证。盘算机凭据法式指令逐一浏览舆图并检查其是否满足四色定理。

其时的盘算机运算速度还不够高，整个证明历程的耗时凌驾了1000小时。能相信盘算机吗？盘算机只能执行指令，并无自主缔造力。

可是，想要证实法式中是否存在错误是很难题的。我们能在多大水平上相信盘算机，这个问题一直困扰着人工智能领域的学者。当我们进入由算法主导的未来时，确保代码中没有未被检测出的错误，将成为一项困难的挑战。2006年匹兹堡大学的托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）教授在《数学年鉴》上揭晓了关于借助盘算机证明著名的数学问题—“开普勒料想”的论文。

简朴来说，开普勒料想就是对在空间中如何最麋集地聚集圆球的解答。出于有效使用空间以及制止压坏水果的思量，水果店东家一般会将水果层层交替堆叠，任意平面上的每个水果都与六个水果相邻，组成正六边形。像阿佩尔与哈肯一样，黑尔斯接纳的也是借助盘算机对足够多的案例举行穷举证明的方法。事实上，早在1998年，黑尔斯就曾宣布他的证明完成，并向《数学年鉴》评审组提交了论文、法式代码及相关资料，但该项证明的审核验证履历了漫长的时间。

这是因为人类大脑的物理局限性，审核人必须得充实相信盘算机的能力，就好比我们第一次乘坐飞机一样，心中难免惴惴不安。用了8年时间，数学家们证明晰黑尔斯是正确的，但其确定性是99%。

对于数学纯化论者来说，这1%也是不行容忍的。这就好比，要证明你是牛顿的亲戚，可是家族谱系图里却缺少了关键的一环……人们质疑盘算机证明数学问题的能力，并不是因为畏惧盘算机在未来会使得他们丢掉事情（早些年盘算机只会按人类的指令执行操作，并不具备自主学习能力），主要是因为无法确定盘算机法式是否存在潜在缺陷。我们该如何去相信盘算机的证明呢？数学家们就曾被法式代码中的缺陷困扰。

1992年，牛津物理学家使用弦理论中的启发法对高维几何空间中可识此外代数结构数量举行了预测。对于该预测，数学家们持怀疑态度，因为他们以为物理学不具备解释抽象结构的能力。当有证据讲明这个料想是错误的时候，他们以为自己的怀疑是有原理的。

然而，厥后事实证明，否认这个预测的错误证据正是由一个有缺陷的盘算机法式生成的。所以，错的是数学家，而不是物理学家——法式的错误把他们引入了歧途。几年之后，数学家们开始努力地证明物理学家的预测是对的（这一次数学家们把盘算机清除在外了）。

这样的故事加剧了数学家们的担忧，他们担忧盘算机可能会让我们在结构不健全的“法式地基”之上制作精巧的“数学大厦”。但坦白讲，许多问题的证明往往都存在不足或错误，人类犯错的可能性通常比盘算机更大。

包罗我本人揭晓的一些证明，厥后也被发现存在一些毛病。错误可以被修正，但遗憾的是，在证明的验证和审核阶段它们并没有被找出来。证明的验证和审核很是重要，它是发现缺陷和毛病的重要环节。

这就是为什么数学界“千禧年大奖问题”的证明要经由两年的审核验证期—大家认为24个月的时间足够让错误袒露出来。以安德鲁·怀尔斯证明“费马大定理”为例，在其证明方法付梓之前，审验人员发现了一个小缺陷。但怀尔斯和理查德·泰勒（Richard Taylor，曾是怀尔斯的学生）奇迹般地修正了这一缺陷。即便如此，在错误证明的基础上构建数学体系的情况也是屡见不鲜的。

许多新的证明极其庞大，以至于数学家们很担忧一些潜在的错误难以被发现。以有限单群分类定理（classification of finite simple groups）为例，单群在有限群论中的职位，与素数在数论中的职位、原子在化学中的职位一样，它们都是构建各自所在世界的“砖块”。对于任意的有限群，我们可以将其剖析为一系列单群，且剖析方法是唯一的。

通过研究这些“砖块”，我们可以进一步发现由它们所组成的物质的结构和性质。与当年化学家寻找新元素一样，数学家也开始了对于单群的寻找—列出一个单群的“元素周期表”，并证明这个“周期表”中包罗了所有的单群。

其中，“魔群”是最大的“散在单群”。“魔群定理”的证明散落在100多篇论文中，合计凌驾10000页，涉及数百名数学家。单群的“元素周期表”中含有26个散在单群，对于是否存在第27个散在单群，人们总是持怀疑态度。

对于这种类型的庞大证明，举行人力审核险些是不行能的，那么，是否可以通过盘算机法式来磨练数学定理的证明呢？新的问题又泛起了，用盘算机法式去磨练盘算机证明的步骤，是否可信？怎么确保盘算机法式中没有缺陷？再用另一台盘算机去查证吗？这会陷入一个永无休止的死循环。你怎么能确定你的方法正在引导你走向真正的知识的“圣杯”？真理的发生取决于你的证明方法。正如哲学家大卫·休谟（David Hume）指出的，大多数科学研究都建设在归纳法之上—通过视察特定的例子来推断出一个普遍的纪律或原则。为什么归纳法是一种发生科学真理的好方法呢？这主要是因为在归纳法里我们可以举出许多例子来说明。

基于归纳法，曾发生了许多著名的科学理论，这反过来证实了归纳法确实是一种科学研究的好方法。Coq证明助手在已往，数学问题的证明和验证历程全凭人工完成。而现在，越来越多的证明开始借力于盘算机，但因为验证的历程既烦冗又庞大，而且事情量庞大，人类大脑的局限性决议了无法接纳人工验证的方式判断其对错。因此，我们迫切需要一种解决方案，即通过构建新的法式来验证盘算机证明的正确性。

20世纪80年月末，法国数学家皮埃尔·于埃（Pierre Huet）和蒂埃里·科昆德（Thierry Coquand）开始从事结构微积分（calculus of constructions）项目。该项目简称CoC，但很快又被称为Coq（法语里意为“公鸡”）。

这个改动一方面是为利便影象，因为在法国一直有以动物命名开发工具的习惯；另一方面是因为Coq是其开发者之一科昆德姓氏的前三个字母。Coq为验证数学证明而生，很快也成了验证盘算机证明的重要法式，备受青睐。2000年，微软研究院首席研究员乔治·贡蒂尔（Georges Gonthier）及其同事使用Coq对阿佩尔与哈肯的四色定理的盘算机证明举行了验证，因为这是史上第一个需要盘算机才气完成的证明（假定Coq不存在任何缺陷）。然后，他们也使用Coq去验证了阿佩尔和哈肯自己所写的证明部门。

人类手工证明与盘算机证明差别，手工证明历程中会跳过一些烦琐或众人皆知的步骤，而盘算机却依赖于明确、细化的步骤才气正确执行指令。这类似于写小说和写保姆指导手册的区别。

前者不需要对主人公的每一个行动都解释得一清二楚，尔后者则需要尽可能地明确和详尽，包罗一天中婴儿的食谱，以及用饭、睡觉、上茅厕的每一个细节。盘算机用了5年的时间进一步自动识别并验证人类证明的历程。

这期间，人们惊讶地发现了在第一次证明中被忽略的数学知识。Coq与原始的盘算机证明相比，更应该信任谁呢？固然是前者。

越来越多的盘算机证明被Coq所验证，使我们越发确信Coq是可靠的。这就像我们通过归纳法验证数学中的基本正义一样。

这就像任取两个数A和B，如果A+B都即是B+A，那么A+B=B+A就是正确的。用一个盘算机法式来验证多个盘算机证明，比体例一个特定的证明法式或者举行人工证明更值得我们信任。贡蒂尔团队验证完四色定理后，紧接着开始了对奇阶定理（odd order theorem）的验证事情。奇阶定理是对称性研究最重要的指导定理之一，通常被认为是有限单群分类的基石。

像化学里的元素周期表一样，有限单群是组成数学有限群论“元素周期表”中的基本元素，所有的工具都由有限单群组成。具有素数边的正多边形（如正三角形、正五边形）是该周期表中的元素。此外，该周期表中另有一些庞大且奇特的对称元素，如旋转了60次的正二十面体、需要196883维线性空间才气表达的“魔群”等。

“魔群”具有的元素个数凌驾了组成地球的原子个数。该定理指出，任何奇阶对称结构的基本组成单元都是素数多边形，此外再无其他结构。如果把对称物体分为奇阶和偶阶两种，那么该定理就即是涵盖了其中的一半，意义重大。奇阶定理的原始论文有255页，占据了《太平洋数学期刊》的全部篇幅。

在它出书之前，大多数证明最多只有几页，一天内即可掌握。这个冗长庞大的证明，对每一位数学家来说都是一个挑战。因此，其中是否存在细微的缺陷或错误，始终无法考证。Coq对庞大数学定理的证明历程，一方面可以磨练Coq的能力，另一方面能帮我们树驻足够的信心。

但将人工证明转换成可验证的盘算机代码这一历程并不容易。贡蒂尔略带腼腆地回忆道：第一次开会讨论时，我向团队里其他成员宣布了我的雄伟计划，他们流露出不行思议的心情，就像是我得了妄想症。奇阶定理的证明历程太过庞大，验证它最初被认为是不行能的。做这个项目的真正原因，是为了充实明白数学理论的构建历程并使之与Coq充实融合。

集会竣事后，团队里的一名法式员检察了原始证明，随后向贡蒂尔发来一封邮件：“17万行代码，1.5万个变量，4300个函数。好玩，太棒了！”微软剑桥研究院团队用了6年的时间完成了证明。

当项目即将竣事时，贡蒂尔兴奋地说，经由无数个不眠之夜，他终于可以放松一下了。贡蒂尔说：“数学是最伟大的浪漫主义学科之一，即即是天才，也得掌握所有知识才气引发灵感，明白一切。”可是，人类的大脑存在物理上的局限性。他希望他们所做的一切能够叩开人类与机械相互信任、连续互助的新时代“大门”。

人脑的极限年轻的数学家们开始意识到，数学研究变得更为艰难了：学科分支越发麋集，问题越发庞大。攻读博士学位的3年时间，只够去明白导师所给题目的寄义。随后，再花费数年时间去研究、探索，运气不错的话，会获得一些研究结果。然而，你揭晓的论文却面临着没人能审核它。

审核别人揭晓的论文是得不到太多酬劳的，但期刊论文的审核必须经由同行的评审。职称评定也以公然揭晓在《数学年鉴》或《l扞HES数学期刊》这类文献中的论文积分为基准。

因此，有一个像Coq证明助手这样的系统就很是重要了。一些数学家认为我们现在正处在一个新旧时代的交替期——数学的生长虽然受到人类大脑局限性的制约，但借助于盘算机，我们对数学的探索已远远超出了人脑的思维领域。伟大的数学家们能够用他们睿智的头脑，借助于纸和笔这些极其简朴的工具，结构出像“魔群”这样具有196883维的对称体，这是人类的奇迹。

但数学家们终将会老去，就像中世纪的泥瓦匠，其精湛的武艺将陪同身体的死亡而从人世间消失。如果很难找到通往“新奇迹”的偏向，人们终将失去缔造的原动力。

费马大定理的证明长达数百页，跨越3个世纪，这说明人类拥有足够的耐心。当你努力去证明一个极其庞大的料想时，隐约会有一种突破人类大脑物理极限的感受。数学是无限的，而人的能力是有限的。但即便如此，我们常会为自己所做的努力感应受惊，因为我们用数学的方式证明晰“数学海洋的辽阔无边”。

有一个问题险些困扰了我15年之久。每次推演时，总是在即将获得解决方案的关键时刻，我的大脑容量就不够用了，它给我“即将宕机！”的警告。距离乐成仅一步之遥，却难以取得突破。

就像现象与本质之距离着一张“渔网”，它制约着我们，让我们难以冲出迷雾，获得灼烁。当几代数学家致力于黎曼假设的证明而不得其解时，人们开始怀疑，是否这样的证明已逾越人脑的极限。

著名数学家哈代多年来一直试图证明黎曼假设，厥后他自嘲道：“每个傻瓜都能提出有关质数的问题，而最智慧的人却无法解答。”奥地利数学家、逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt Gdel）有过论证：数学中包罗了许多没有经由证明的真理。能否用新的正义去证明那些未被证明的真理呢？哥德尔早在1951年就发出了警示，他认为我们可能会越来越难以掌控现代数学的生长偏向：人们缔造出了一套庞杂且仍在扩展的正义系统，但人们研究它的目的越来越说不清楚……简直，在现代数学中，这些更高条理的理论结果实际上无法投入使用，这有可能与它们无法证明某些基本定理有关，例如黎曼假设。

鉴于我们可能即将触及人类自身能力的极限，一些数学家已意识到，如果希望人类文明连续进步，我们将需要更多的机械辅助。就好比登上珠穆朗玛峰之巅，我们可能只需要一个氧气罐，但如果人机不能联合，我们永远无法登上月球。以色列数学家多伦·泽尔伯格（Doron Zeilberger）认为：数学家只用铅笔和纸张事情的日子即将竣事。

20世纪80年月以来，他一直使用盘算机撰写论文。他将自己的由AT＆T（美国电话电报公司）生产的盘算机命名为“Shalosh B. Ekhad”（希伯来语中3B1的意思），并坚持将这位机械同伴作为论文的团结作者。泽尔伯格认为，人们之所以不愿倚重人机互助的方式，是因为“狭隘的人本主义”在作祟，这种偏执与其他形式的偏执一样，阻碍了人类生长的脚步。

大多数数学家认为他们孜孜以求的目的很是深奥，是盘算机难以企及的。换言之，他们不仅希望能获得真理，而且希望探求真理背后更多的内在。如果盘算机在无法真正明白数学的情况下就能验证数学真理，他们会以为很是谬妄。

获得菲尔兹奖的数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）曾说过：“我们的理想是探究数学真谛，而不是使用机械执行指令的盘算机推演论证。”另一位菲尔兹奖获得者泽尔曼诺夫（Zelmanov）也表现赞同：“只有所有数学家都认可的证明方法才是真正有效的，所以我对机械证明方法的前景并不看好。”固然，我们也不会认可只有一位数学家接纳的证明方法。

泽尔曼诺夫说的有原理吗？如果数学证明方法只有生成它的机械能够明白，我们真的可以相信吗？起初，多伦·泽尔伯格对这种看法也很是明白，但最终对其不屑一顾。他认可，让他乐此不疲的是在整个数学证明历程中获得所有的证据。

对他来说，这就是生活，而生活是错综庞大的。他相信如果人的头脑可以找到一个证据，那么它一定是显而易见的：二三十年后，人类可以通过盘算机轻松完成大多数事情。在数学领域里，使用盘算机完成许多事情已经酿成现实。

现在，人类许多刚揭晓的论文就已过时了，其实完全可以用算法来替代人类完成这些事情。现如今我们遇到的许多问题已经变得毫无意义，可是我们还是继续在做，仅仅因为这是人类可以做的事情。

对于数学领域的现状来说，这是相适时人沮丧的评估。但这是真的吗？我固然以为有些论文进入期刊是因为我们需要出书物，但这并不总是坏事。

为了做某事而做某事所带来的意想不到的结果已经多次证明，无目的驱动的研究有时是收集真正的新看法的最佳方式。像许多业界同人一样，乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）认为人类未来在数学领域中仍然会发挥至关重要的作用：我们很是擅长搞定盘算机无法做到的事情。想象一下未来，如果现在所知道的一切定理都可以通过盘算机获得证明，那我们就可以去探索盘算机无法解决的其他问题，这有可能成为未来的“数学”。

但人类的许多研究结果不是向前而是横向平行延伸的。在某些领域我们确实到达了临界点，想要逾越珠穆朗玛峰的高度就必须借助一台机械。这对守旧派来说是一种震撼的看法打击（也可能包罗我自己）。

他们不愿认可的是，人类再也不行能仅使用笔和纸来探求数学的奥义了。作者简介：马库斯·杜·桑托伊（Marcus du Sautoy），英国皇家学会院士，美国数学学会院士，牛津大学西蒙尼民众明白科学教授，大英帝国勋章获得者，英国皇家学会迈克尔·法拉第奖获得者，伦敦数学协会贝维克奖获得者。桑托伊被誉为科学王国的大使，他缔造了“盛行数学”的观点，将庞大的数字和数学观点用形象生动、通俗易懂的语言表达出来。

他常为《泰晤士报》和《卫报》写文章，也为电台和电视台作评论，同时与英国BBC广播公司保持恒久互助。2001年，他赢得了伦敦数学会的贝维克奖(Berwick Prize)。2004年，他被英国《周日独立报》评为英国最良好的科学家之一。

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